什么是向量

假设你在写一个程序，希望它能回答这样的问题：

「猫、老虎、金鱼——这三种动物里，哪两个更像？」

你脱口而出：猫和老虎。理由也许是「都是猫科」「长得像」「都会扑猎物」。 但问题来了：计算机不懂「猫科」，不懂「长得像」，它只认识数字。你没法把一只猫塞进 CPU，你只能给它数字。

给每种动物打一个「体型分」，从 0 到 1。金鱼 0.02，猫 0.25， 狗 0.45，鳄鱼 0.50，老虎 0.90。它们排在一根数轴上：

神奇的事情发生了：「像不像」突然变成了可以计算的东西。两个数的差越小，就越「像」：

等等——按这个算法，猫和金鱼反而更像？好像哪里不对，但先别急着推翻它。 这个方案至少做对了一件大事：它把「比较两个事物」变成了「比较两个数字」。这个思想我们要保留。真正的问题在别处。

再看一眼图 1-1 里那两个红点。按我们的算法：

给每只动物两个数字 (体型, 凶猛)，把第一个数当横坐标、第二个数当纵坐标：

狗和鳄鱼在横轴上仍然贴着，但纵轴把它们拽开了。 用勾股定理一算（细节放在下一课），它们的距离从 0.05 变成了约 0.70。问题解决了。

现在，请注意你刚刚做了什么——你把一只动物写成了一组有顺序的数字：

这组数字，数学上就叫向量（vector）。

数字的个数叫维度——我们刚造的是 2 维向量。同一个向量有三副面孔，说的是同一件事： 它是一列数字（计算机看到的）、是平面上的一个点（我们画出来的）、 也是从原点指向那个点的一支箭头（下一课讲运算时最好用的视角）。

两个维度也会有局限。体型和凶猛都接近的猫和狐狸怎么区分？——再加一维「是否家养」。 会飞的和会游的呢？——再加。每发现一种「区分不开」，就加一个维度。 3 个数字是空间中的一个点；4 个、100 个数字，我们画不出来了， 但数学完全不在乎：距离公式照样算，「谁和谁更像」照样比。

这正是现代 AI 的做法。在 GPT 这类大语言模型里，每个词就是一个向量—— 不是 2 维，而是上万维（GPT-3 用了 12288 维）。没有人逐个设定「体型」「凶猛」这样的含义， 这些维度是模型自己从海量文本里学出来的。但思想和你今天发明的一模一样：

不过，「距离」到底该怎么算？除了距离，还有没有别的「像不像」的算法？ 两个向量相加又是什么意思——「猫 + 狗」是什么动物？带着这些问题，去下一课。